确定中间数巧解整数分拆
那么什么是“中间数”呢?其实这里的“中间数”也就是平均数。有的“中间数”是答数中的一个,如:1、2、3、4、5中的“3”便是;也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的,并不是答数中的一个,如:4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。由此我们可知,奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数,而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数,并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题:
一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和,这25个数分别什么?
分析与解:这道题如果一个一个地试,岂不是很麻烦,我们先求中间数:2000÷25=80,那么80的左边有12个数,右边也有12个数,再加上80本身,正好是25个数,我们又知相邻两个偶数相差2,那么这25个偶数中最小的便为:80—12×2=56,最大的为:80+12×2=104,故所求的这25个数为:56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和,这10个自然数分别是多少?
分析与解:我们仿照例1的办法先求中间数:105÷10=10.5,“10.5”这个数是小数,并不是自然数,很明显“10.5”不是所求的数中的一个,但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个,这样也就是10.5左边有5个数,右边也有5个数,距离10.5最近的分别是10、11,这10个数分别是:6、7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和,有几种?分别是多少?
分析与解:此题看上去无从下手解答。我们先把84分解质因数,84=2×2×3×7由分解式可以看出,84的不同质因数有2、3、7,这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和,但是我们必须明确,有的个数是不符合要求的,例如把84分拆成2个连续自然数的和,无论如何是办不到的,那么我们不妨把其分拆为3、7、8(2×2×2)个连续自然数的和。
分拆为3个连续自然数的和:(2×2×3×7)÷3=28 ,确定了“中间数”28,再依据例2的方法确定其它数,所以这三个数是27、28、29。
同理,分拆为7个连续自然数的和:(2×2×3×7)÷7=12 ,它们是9、10、11、12、13、14、15。
分拆为8(2×2×2)个连续自然数的和:(2×2×3×7)÷8=10.5 ,它们是7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14。其它情况均不符合要求。
再将此题引伸一步,怎样判断究竟有几种分拆方式呢?就84而言,它有三种分拆方法,下面我们看84的约数有:1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。其中大于1的奇约数恰有三个。于是可以得此结论:若一个整数(0除外)有n个大于1的奇约数,那么这个整数就有n种分拆成2个或2个以上连续自然数的和的方法。 _公务员考试
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