一、平方数列及其变式

　　平方数列是指数列中的各项数字均可转化为某一数字的平方，且这些新数字又构成新的规律，可能是等差、等比，也可能是其他规律。例如：1,4,9,16,25,36……

　　典型平方数列分为几种基本数列(自然数数列、奇数数列、质数数列、等差数列等)的平方。

　　平方数列变式：这一数列不是简单的平方数列，而是在此基础上进行“加减乘除某一常数”变化的数列。

　　例题1.(2008年中央第45题)

　　14,20,54,76，(　　)

　　A.104  B.116

　　C.126  D.144

　　【解析】该数列是平方数列的变式。其规律：14＝32＋5,20＝52－5,54＝72＋5,76＝92－5，未知项应为112＋5，即为126。故选C。

　　例题2.(2008年北京市(应届)第2题)

　　2,3,10,15,26，(　　)

　　A.32  B.35

　　C.38  D.42

　　【解析】该数列是平方数列的变式。该数列规律为：2＝12＋1,3＝22－1,10＝32＋1,15＝42－1,26＝52＋1，所以其下一项应为62－1＝35。故选B。

　　例题3.(2007年浙江省第9题)

　　(　　),35,63,80,99,143

　　A.24  B.15

　　C.8  D.1

　　【解析】该数列是平方数列的变式。原数列可以变形为(　　)，62－1,82－1,92－1,102－1,122－1，由此可知该数列各项是合数的平方减去1，那么(　　)＝42－1＝15。故选B。

　　例题4.(2007年甘肃省第5题)

　　6,7,11,20，(　　)

　　A.33   B.34

　　C.35   D.36

　　【解析】该数列是平方数列的变式。该题题干中的后项与前项之差分别为7－6＝1,11－7＝4,20－11＝9，可见这1、4、9是自然数列1、2、3的平方，下个数应为16，即4的平方，所以(　　)内之数是16＋20＝36。故选D。

　　例题5.(2007年广东省第3题)

　　3,2,11,14，(　　)

　　A.17  B.19

　　C.24  D.27

　　【解析】该数列是平方数列的变式。其规律为：n2＋(－1)n＋1×2＝an(n为自然数)，即12＋2＝3,22－2＝2,32＋2＝11,42－2＝14，所以(　　)内之数是52＋2＝27。故选D。

　　二、立方数列及其变式

　　立方数列是指数列中的各项数字均可转化为某一数字的立方，且这些新数字又构成新的规律，可能是等差、等比，也可能是其他规律。例如：1,8,27,64,125……典型立方数列分为几种基本数列(自然数数列、奇数数列、质数数列、等差数列等)的立方。

　　立方数列的变式是指在立方数列的基础上进行某种变化后得到的新数列，这种变化通常是指“加减乘除某一常数”的变化。

　　例题1.(2007年中央第45题)

　　0,2,10,30，(　　)

　　A.68  B.74

　　C.60  D.70

　　【解析】该数列为立方数列的变式。其规律为：(n－1)3＋(n－1)＝an(n为自然数)，原数列可变形为03＋0＝0,13＋1＝2,23＋2＝10,33＋3＝30，因此，未知项为43＋4＝68。故选A。

　　例题2.(2006年中央(一类)第33题，(一类)第28题)

　　－2，－8,0,64，(　　)

　　A.－64  B.128

　　C.156   D.250

　　【解析】该数列是立方数列的变式。其规律为：an＝(n－3)×n3(n为自然数)，即－2＝(1－3)×13，－8＝(2－3)×23,0＝(3－3)×33,64＝(4－3)×43，由此可知，未知项为(5－3)×53＝250。故选D。

　　例题3.(2007年江苏省(A类)第8题)

　　－2，－1,6,25,62，(　　)

　　A.105  B.123

　　C.161   D.181

　　【解析】该数列是立方数列的变式。其规律为：－2＝03－2，－1＝13－2,6＝23－2,25＝33－2,62＝43－2，所以下一项为：53－2＝123。故选B。

　　例题4.(2007年浙江省第5题)

　　0,9,26,65，(　　),217

　　A.106  B.118

　　C.124  D.132

　　【解析】该数列是立方数列的变式。原数列可以变形为13－1,23＋1,33－1,43＋1，(　　),63＋1，由此规律(　　)＝53－1＝124。故选C。

　　例题5.(2007年黑龙江省(A类)第2题)

　　8,27,64，(　　),216

　　A.125  B.100

　　C.160  D.121

　　【解析】该数列是典型的立方数列。规律为：23,33,43，(　　)，63，未知项为53＝125。故选A。

　　例题6.(2006年江苏省(A类)第2题)

　　4,11,30,67，(　　)

　　A.121  B.128

　　C.130  D.135

　　【解析】该数列是一个立方数列的变式。a1＝4＝13＋3，a2＝11＝23＋3；a3＝30＝33＋3；a4＝67＝43＋3；依此规律a5＝53＋3＝128。故选B。