一、行程问题

　　行程问题包含相遇问题、追及问题和流水问题。

　　(1)相遇问题

　　相遇问题：相遇时间＝距离和÷速度和

　　甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了AB之间这段路程，如果两人同时出发，那么：

　　AB之间的路程

　　＝甲走的路程＋乙走的路程

　　＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间

　　＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间

　　＝速度和×相遇时间

　　可见，“相遇问题”的核心是速度和问题。

　　(2)追及问题

　　有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的速度之差。如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间(追及时间)内：

　　追及路程

　　＝甲走的路程－乙走的路程

　　＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间

　　＝(甲的速度－乙的速度)×追及时间

　　＝速度差×追及时间

　　可见“追及问题”的核心是速度差的问题。

　　(3)流水问题

　　我们知道，船顺水航行时，一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度(简称顺水速度)就等于船速与水速的和，即

　　顺水速度＝船速＋水速

　　同理

　　逆水速度＝船速－水速

　　可推知

　　船速＝(顺水速度＋逆水速度)÷2

　　水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2

　　公式总结：

　　①顺水船速＝船速＋水速；

　　②逆水船速＝船速－水速；

　　③船速＝(顺水速度＋逆水速度)÷2；

　　④水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2。

　　例题1.(2008年北京市(应届)第16题)

　　甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行进4公里，乙每小时行进5公里，在甲出发的同时，他头上方的一只蜜蜂也同时出发，朝乙飞去，遇到乙后，立即返回，再次遇到甲后，又向乙飞去，如此反复，直到甲乙两人相遇，已知甲乙两地相距18公里，蜜蜂每小时飞10公里，问蜜蜂在甲乙两人相遇前飞了多少公里？(　　)

　　A.17.2  B.20.0 

　　C.19.6  D.21.3

　　【解析】本题考查行程问题，需要注意蜜蜂和人行进路程、速度均不相同，但他们的行进时间是相等的，所以可以先求出蜜蜂飞行的时间，即两人从出发要相遇时经过的时间，即18÷(4＋5)＝2小时，2×10＝20公里，此即为蜜蜂飞行的路程。故选B。

　　例题2.(2007年山东省第49题)

　　某学校操场的一条环形跑道长400米，甲练习长跑，平均每分钟跑250米；乙练习自行车，平均每分钟行550米，那么两人同时同地同向而行，经过x分钟第一次相遇，若两人同时同地反向而行，经过y分钟第一次相遇，则下列说法正确的是(　　)。

　　A.x－y＝1  B.y－x＝56

　　C.y－x＝1  D.x－y＝56

　　【解析】本题考查相遇问题。x＝400÷(550－250)＝43分钟，y＝400÷(550＋250)＝12分钟，所以x－y＝43－12＝56。故选D。

　　例题3.(2007年江苏省(B类)第78题)

　　在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持20千米/小时，下坡的速度保持30千米/小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶4小时，问两个山村之间的距离是多少千米？(　　)

　　A.45   B.48  

　　C.50  D.24

　　【解析】本题可以看作是水流问题，只是把顺水、逆水换成了上坡和下坡。距离＝时间×速度。设两地距离为S，那么有S÷20＋S÷30＝4，解得S＝48。故选B。

　　例题4.(2007年黑龙江省(A类)第20题)

　　光每秒钟可走3×105公里，从太阳系外距地球最近的一颗恒星上发出的光，需要4年时间才能到达地球，一年以3×107秒计算，求这颗恒星到地球的距离(　　)。

　　A.3.6×1012公里  B.3.6×1013公里

　　C.1.2×1012公里  D.1.2×1013公里

　　【解析】这是一道简单的计算距离的试题。由距离＝时间×速度可知，3×105×3×107×4＝3.6×1013公里。故选B。

　　例题5.(2006年中央(一类)第39题)

　　A、B两地以一条公路相连。甲车从A地，乙车从B地以不同的速度沿公路匀速率相向开出。两车相遇后分别掉头，并以对方的速率行进。甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动。最后甲、乙两车同时到达B地。如果最开始时甲车的速率为x米/秒，则最开始时乙车的速率为(　　)。

　　A.4x米/秒      B.2x米/秒 

　　C.0.5x米/秒  D.无法判断

　　【解析】本题可以利用相遇的公式来解决。画一线段图分析可很清楚发现在以慢车速度走完单程的情况下，以快车速度可以走完往返路程，由此可知乙车开始的速度为2x米/秒。故选B。

　　例题6.(2005年中央(一二类)第43题)

　　某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等。假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是(　　)。

　　A.2.5∶1  B.3∶1 

　　C.3.5∶1  D.4∶1

　　【解析】设顺水速度为t1，逆水速度为t2。依题意可得21÷t1＋4÷t2＝12÷t1＋7÷t2，整理得21＋4(t1÷t2)＝12＋7(t1÷t2)，化简得t1÷t2＝3。故选B。

　二、方阵问题

　　横着排称为行，竖着排称为列。如行数与列数相等，则正好排成一个正方形，此图形被称为方阵(也被称为乘方问题)。方阵各要素之间的关系：

　　(1)方阵总人(物)数＝最外层每边人(物)数的平方；

　　(2)方阵最外一层总人(物)数比内一层总人(物)数多8(行数和列数分别大于2)；

　　(3)方阵最外层每边人(物)数＝(方阵最外层总人数÷4)＋1；

　　(4)方阵最外层总人数＝[最外层每边人(物)数－1]×4；

　　(5)去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1。

　　例题1.(2007年浙江省第15题)

　　某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。现在要求各行从左至右1,2,1,2,1,2,1,2报数，再各列从前到后1,2,3,1,2,3报数。问在两次报数中，所报数字不同的战士有(　　)。

　　A.18个  B.24个 

　　C.32个  D.36个

　　【解析】此题可画出直观图进行解答。当从左至右报1时，从前至后报2的有8人，报3的也有8人，当从左至右报2时，同理可得，从前至后报1的有8人，报3的也有8人，即所报数字不同的战士有32人。故选C。

　　例题2.(2007年河南省第44题)

　　某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人；第二次比第一次每排增加3人，结果缺少29人，仪仗队总人数为多少？(　　)

　　A.600  B.500 

　　C.450  D.400

　　【解析】本题考查方阵问题。设该仪仗队总人数为x人，第一次每排有y人，则有y2＋100＝x(y＋3)2－29＝x；解得：x＝500y＝20。故选B。

　　例题3.(2007年黑龙江省(A类)第15题)

　　某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？(　　)

　　A.272  B.256 

　　C.225  D.240

　　【解析】本题考查方阵问题。方阵最外层每边人数为60÷4＋1＝16，所以这个方阵共有162＝256人。故选B。