二、环型

　　环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇(不可能背面相遇)，一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。分开讨论如下：

　　(一)甲、乙两人从A地同时反向出发：

　　如下图，一个周长分成4份，假设甲是顺时针每分钟走1份到B，乙是逆时针每分钟走3份到B，则第一次相遇两人走了1个周长，则再过1分仲，甲再走1份到C，同样乙走3份也到C，则第二次相遇共走了2个周长，依次类推，可得出：第n次迎面相遇共走了n圈。

　　(二)甲、乙两人从A地同时同向出发：

　　如下图，全程分成4份。假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走1份，乙每分钟走5份，则1分钟后两人在B处第一次背面追及相遇，两人走的路程差为1个周长。再过1分钟后，甲到C处，乙也到C处，两人第二次背面追及相遇，多走的路程差同样为一个周长，依次类推，可以得出：第n次背面追及相遇，路程差为n圈。

　　环型多次相遇问题相对比较简单，当甲、乙不在同一地点出发时相对具有难度。比如在直径两端出发。考生可通过下面的例题把握。

　　【例1】老张和老王两个人在周长为400米的圆形池塘边散步。老张每分钟走9米，老王每分钟走16米。现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第三次相遇？

　　A、33   B、45              C、48         D、56

　　【答案及解析】C。第一次迎面相遇时间为400÷(9+16)=16，则第三次迎面相遇时间为16×3=48。

　　【例2】小明、小亮从400米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小明转身往回跑；再次相遇时，小亮转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交替调转方向，小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，则在两人第30次相遇时小明共跑了多少米？

　　A、11250        B、11350           C、11420         D、11480

　　【答案及解析】A。由题意知，第1次是迎面相遇，第2次是背面追及相遇，之后都是迎面与背面相遇交替。则在30次相遇中，迎面相遇15次，背面相遇15次。迎面相遇一次用时为400÷(3+5)=50，背面相遇一次用时为400÷(5-3)=200，则30次相遇共用时为

　　15×(50+200)=3750s，则小时在这段时间里跑的路程为3750×3=11250米。

　　【例3】甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长为多少米？

　　A、320         B、360            C、420         D、480

　　【答案及解析】D。如下图，假设甲、乙分别在直径A、B两端以顺时针和逆时针运动。第1次相遇在C点距B点100米，第2次相遇在D点，距A点60米。

　　当在直径端点两岸行走时，可将环型转化为直线型，则第2次相遇每个人走的路都是第1次相遇的2倍。以乙为研究对象，则从C到D走的路是B到C的2倍，即200米，因AD为60米，则CA为200-60=140米，所以半个周长为100+140=240米，周长为240×2=480米。

　　总结

　　对于多次相遇问题，近几年随着题目难度的上升，会逐渐成为考试的主角。考生在备考中要有意识的培养上述几种模型的解题技巧，尤其是直线型的多次相遇问题，对于给定两者速度的题目，且相遇次数较少时能熟练运用“沙漏模型”解题，可直观有效地提高解题的速度。对于环型，不像直线型那么复杂，注意处理好相遇次数，是迎面还是追及相遇，运用公式可快速解题。最后希望上述几种模型的解题技巧对各位考生能起到抛砖引玉的作用，同时祝各位充分备考的考生能取得一个理想的成绩！