2011年公务员联考行测数量关系解题技巧:中国剩余定理的应用
一、中国剩余定理的由来
我国古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题: “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,3个3个地数余2个,5个5个地数余3个,7个7个地数余2个,问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
二、“中国剩余定理”算理及其应用
明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:
三人同行七十(70)稀,五树梅花廿一(21)枝,
七子团圆正月半(15),除百零五(105)便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去105的倍数,就得到答案了。即:70×2+21×3+15×2-105×2=23
为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数,且除以3余1。21是3和7的公倍数,且除以5余1。15是3和5的公倍数,且除以7余1。(任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案。
三、“中国剩余定理”的应用
主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期:余同取余,和同加和,差同减差”以外的余数问题的题目。
例1、一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?
A、81 B、34 C、128 D、103
【答案】B 解析:本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。
为了使20被3除余1,用20×2=40;
使15被4除余1,用15×3=45;
使12被5除余1,用12×3=36。
然后,40×1+45×2+36×4=274。
因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。所以选择B选项。
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