和差倍比问题是研究不同量之间的和、差、倍数、比例关系的数学应用题，在数学运算中比较容易理解。但此类问题对计算速度和准确度要求较高，考生在平时复习中，应注意培养自己的速算能力。

　　教育专家认为，按照考查形式，和差倍比问题可以分成两大类：即和差倍的数量关系和比例关系。其中利用比例问题的基本公式，还可以帮助解决隐含对应比例关系的行程、工程问题。

　　一、明确和差倍的数量关系

　　和差倍问题并没有统一的背景概念，通常题干叙述一些条件之间的关系，包括：和倍、差倍、和差关系三种。

　　1.和倍关系：已知两数之和与它们之间的倍数关系，求这两个数。

　　和÷(倍数＋1)=较小数

　　【示例1】师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？

　　解析：根据题意，徒弟加工的少，可将徒弟的看成1倍量。

　　画出示意图：

　　从图上可以看出，如果师傅少加工5个，则两人加工的总数少5个，变为100个，这时是整数倍，一共有1+3=4倍。1倍量=100÷4=25，即徒弟加工了25个。师傅加工了105-25=80个。

　　2.差倍关系：已知两数之差与它们之间的倍数关系，求这两个数。

　　差÷(倍数－1)=较小数

　　【示例2】两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，则第一块花布原有多少米？

　　解析：已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多。将第一块剩下的看成1倍量，画出示意图：

　　所剩的布第二块比第一块多31-19=12米。又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，根据差倍公式，差÷(倍数-1)=1倍量，可知第一块所剩布的长度为12÷(4-1)=4米，则第一块布原有4+31=35米。

　　3.和差关系：已知两数之和与差，求这两个数。

　　(和＋差)÷2=较大数    (和－差)÷2=较小数

　　【示例3】甲班和乙班共有图书160本，且甲班的图书比乙班多20本，甲乙两班各有多少本图书？

　　解析：乙班书较少，将乙班的书看成1倍量，则甲班的书减20本等于1倍量，从而有 1+1=2倍量=160-20，所以1倍量为(160-20)÷2=70，即乙班有图书70本。

　　也可将甲班的书看成1倍量，则乙班的书+20本=1倍量，从而1+1=2倍量=160+20，所以1倍量为(160+20)÷2=90本，即甲班有图书90本。

　　二、比例问题

　　比例问题是指分量与总量的比较，或者是分量之间的比较。因此，解决比例问题的关键是找准各分量、总量以及分量与总量之间的比例关系，再根据对应的公式进行求解。

　　基本公式：分量÷总量=所占比例，分量÷所占比例=总量，分量=总量×所占比例

　　解题时，需注意两点：

　　(1)题干中，如果有明显的等量关系，且算术方法思路复杂时，可用方程法去解。设未知数时，要注意结合比例关系，避免分数的出现。

　　(2)根据题干数字特征，尤其是遇到含分数、百分数的题，可结合选项排除。

　　从的方法优化来看，题中给出了两种书的数量和比例变化情况，进一步分析会发现，拿走42本文学书后，科技书的数量不变、比例发生了变化，因此，可快速确定拿走42本文学书前书的总数。

　　【例题2】已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书？

　　A.75            B.87            C.174          D.67

　　解析：此题的一般思路是设未知数建立方程解出甲的非专业书数量，但题中除了“甲、乙共有260本书”这个条件外再无其他明确的等量关系，这种方法行不通。

　　从的命题分析来看，题中13%、12.5%两个百分数实际上是给出相关数量的倍数特征，应该以此为切入点去分析和解决问题。

　　三、在行程、工程问题中的应用

　　解决与工程、行程问题相结合的比例问题时，需要利用工程、行程问题中的相关知识，找出其中隐含的比例与对应量之间的关系，再利用比例问题的公式解题。

　　【例题3】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

　　A.200             B.400      C.500                D.600