第二章数量关系--数学运算

　　第一节 数学运算六大思想和方法

　　数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，它是数学中的基础观点；数学方法则是数学思想的具体形式，是大家在解题过程中直接用到的工具。数学思想是数学方法的本质，数学方法是数学思想的外在表现。

　　在前人总结和归纳的基础上，我们得出，数学运算的常用数学思想主要包括猜证结合思想、化归思想、分合思想、数形结合思想、函数与方程思想、极限思想。这六大数学思想自然衍生，相互结合，演绎出多种数学方法，我们一般直接利用这些数学方法，快速解决数学运算问题。

　　一、猜证结合思想--找到数学运算答案的利器

　　猜证结合思想是指在解决数学问题时，根据已知条件做出大胆的猜想，然后将猜想和原题目进行结合，通过合理的数学运算来验证猜想的正确性得出结论的数学思想。

　　（一）代入排除法

　　代入排除法是指将每个选项代入原题干中进行推导，如果得到不符合题干条件的结论或者推出矛盾，则排除相应选项的方法。公务员考试行政职业能力测验中所有题目均为客观题，这一特点正好为代入排除法提供了基础。

　　代入排除法是应用了猜证结合思想的重要方法，适用于那些按部就班计算很耗时的问题。同时，代入排除法应该与题目条件紧密结合，比如最终答案应是偶数，则可以立刻排除不是偶数的选项，缩短计算过程，节省计算时间。

　　例题1：

　　某公司甲、乙两个营业部共有50人，其中32人为男性。已知甲营业部的男女比例为5∶3，乙营业部的男女比例为2∶1，问甲营业部有多少名女职员？

　　A．18B．16C．12D．9

　　【解析】若从两个营业部具体的男女比例条件出发来求解，比较繁琐，但是若从选项入手，将选项代入题中进行验证会比较简单省时。

　　两个营业部共有女性50-32=18名，且两个营业部都有女性，排除A。

　　甲营业部的男女比例为5∶3，则甲营业部的女职员人数是3的倍数，排除B。

　　代入C，若甲营业部有12名女职员，则有12÷3×5=20名男职员，乙营业部有32-20=12名男职员，则乙营业部有12÷2=6名女职员，共有女职员12+6=18名，符合题意。

　　所以正确答案为C。

　　例题2：

　　甲、乙两个工程队，甲队的人数是乙队的70%。根据工程需要，现从乙队抽出40人到甲队，此时乙队比甲队多136人，则甲队原有人数是：

　　A．504人B．620人C．630人D．720人

　　【解析】甲队人数是乙队的70%，则甲队人数一定是7的倍数，这样可以排除B、D，缩小判断的范围。

　　代入C项，甲队人数是10的倍数，甲队是乙队人数的70%，则乙队人数也是10的倍数，从乙队抽出40人之后，甲乙两队相差的人数必然是10的倍数，这与题中条件不符，排除C，选择A。

　　（二）特值法

　　特值法是通过对某一个未知量取一个特殊值，将未知量变成已知量来简化问题的方法。这种方法是猜证结合思想的具体应用，也是公务员考试中非常常见的一种方法。

　　常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊方程、特殊点等。一般，首先假设出一个特殊值，然后将特殊值代入题干，通过一系列数学运算推导出结论；有时候也会通过检验特例、举反例等方法来排除选项，这一点和代入排除法有些类似。

　　这里有一些比较常用的特殊值需要考生注意。比如工程问题经常将总工程量设为特值“1”，行程问题有时也把总路程设为“1”，浓度问题中可以将溶液质量设为100，和差倍比问题可以把基数设为单位“1”。这些只是常用的取特值的方法，在具体的题目中应根据题中的条件选取合理的数值，最终达到简化运算的目的。

　　例题3：

　　有一本畅销书，今年每册书的成本比去年增加了10%，因此每册书的利润下降了20%，但是今年的销售比去年增加了70%，则今年销售该畅销书的总利润比去年增加了：

　　A．36%B．25%C．20%D．15%

　　【解析】此题可以设未知量来进行求解，但是如果直接使用特值法，假设去年每册书的利润和销售量，可以简化计算量。

　　设去年每册书的利润为1，销售量为1，去年的总利润为1×1=1；

　　则今年每册书的利润为1-20%=0.8，销售量为1+70%=1.7，总利润为0.8×1.7=1.36，比去年增加了（1.36-1）÷1=36%。所以选择A。

　　例题4：

　　已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4%，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？

　　A.3%B．2.5%C．2%D．1.8%

　　【解析】此题没有具体的数据，给出的只有数据之间的比例关系，因此可以通过设某个未知量为已知量，然后代入算出其他未知量。此题盐的总量没有发生变化，不妨将其设为已知量。

　　由于第一次加水以后，盐水浓度为6%，则可设盐水中的含盐量为6，故第一次加水以后，盐水的质量为6÷6%=100；

　　第二次加水以后，盐水的质量为6÷4%=150，因此所加的水量为150-100=50；

　　第三次加水以后，盐水的质量为150+50=200，此时，盐水浓度为6÷200=3%。

　　所以选择A。

　　例题5：

　　有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时。有一次停电，将这样两支蜡烛同时点燃。来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样，则此次停电共停了：

　　A.10分钟B.20分钟

　　C.40分钟D.60分钟

　　【解析】由于蜡烛长度和燃烧速度均给出了相应的数量关系，则可采用特值法简化计算，使未知变量减少为一个。

　　设粗蜡烛长度为1，细蜡烛长度为2。则粗蜡烛每小时减少1÷2=0.5，细蜡烛每小时减少2÷1=2。设停电x小时，1-0.5x=2-2x，求得x=■。所以正确答案为C。

　　（三）归纳法

　　归纳法是从已知条件的简单情况入手，通过对特殊情况的总结，得出一个普遍适用规律的方法。这种方法适用于那些多次重复操作的问题。

　　需要注意的是，这种方法得出的结论只是猜测而没有经过合理证明，因此有时候得出的结论不一定是正确的，需要通过证明验证其正确性。

　　例题7：

　　ｎ为１００以内的自然数，那么能令２ｎ－１被７整除的ｎ有多少个？

　　Ａ．３２ Ｂ．３３ Ｃ．３４Ｄ．３５

　　【解析】n＝0时，2n-1＝0，能被7整除；……；

　　当n＝3时，2n-1＝7，能被7整除，……；

　　当n＝6时，2n-1＝6３，能被7整除，……；

　　由此归纳得出，当n能被3整除时，2n-1能被7整除。

　　100以内，能被3整除的自然数有0、3、6、9、…、９９，共３4个。所以正确答案为C。

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