第二章 数量关系--数学运算

　　第二节 数学运算基础知识

　　一、数的特性

　　数的特性，指的是整数的各种性质，是一个数自身所具有的特性，包括：数的整除特性、数的约数和倍数、数的奇偶性和质合性、数的同余、自然数n次方尾数变化等。这些特性是数学运算中最基础的知识，在公务员考试中虽不直接考查，但灵活运用对快速解题帮助很大。这一小节中的知识点比较琐碎，系统性并不是很强，需要考生多加记忆，牢固掌握。

　　（一）数的整除特性

　　两个整数a、b，如果a÷b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

　　1.数的整除检定

　　部分自然数整除检定性质

　　2.数的整除性质

　　（1）若数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。

　　（2）若数a能被c整除，m为任意整数，则a·m也能被c整除。

　　（3）若数a能被b整除，数a能被c整除，且b和c互质，则数a能被b·c整除。

　　3.完全平方数

　　一个数如果是另一个整数的平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。常见的完全平方数有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400。有些题目可以利用完全平方数快速定位答案。

　　例题1：

　　有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了（ ）公斤面包。

　　A．44B．45

　　C．50D．52

　　【解析】本题的突破口在于“剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍”，说明剩下的饼干和面包的重量和应该是3的倍数，而6箱食品的总重量8+9+16+20+22+27=102公斤为3的倍数，故卖出的那箱面包的重量也为3的倍数，则重量只能是9或27公斤。

　　如果卖出的那箱面包重量为9公斤，那么剩下的面包总重量为（102-9）÷3=31公斤，没有合适的重量组合满足条件，排除。

　　如果卖出的那箱面包重量为27公斤，那么剩下的面包总重量为（102-27）÷3=25公斤，正好有25=9+16满足条件，则购进面包的总重量为27+25=52公斤。所以正确答案为D。

　　例题2：

　　修剪果树枝干，第1天由第1位园丁先修剪1棵，再修剪剩下的，第2天由第2位园丁先修剪2棵，再修剪剩下的，……，第n天由第n位园丁先修剪n棵，结果n天就完成，问如果每个园丁修剪的棵数相等，共修剪了（ ）果树。

　　A.46棵 B.51棵

　　C.75棵 D.81棵

　　【解析】本题从正面入手，通过“每个园丁修剪的棵数相等”这一条件，列出方程，可以直接得出答案。但是运用完全平方数性质，可以更快地得到答案。

　　“第n天由第n位园丁先修剪n棵，结果n天就完成”，说明第n位园丁修剪了n棵，而每个园丁修剪的棵数相等，故果树一共有n×n=n2棵，即棵数为完全平方数。选项中只有D项是完全平方数。所以正确答案为D。

　　（二）数的约数和倍数

　　两个整数a和b，如果a能被b整除，那么我们称a是b的倍数，或者说b是a的约数。

　　如果c是a的约数，c也是b的约数，那么我们称c是a和b的公约数，其中最大的一个公约数，称为这两个数的最大公约数。多个数之间的公约数和最大公约数也可以用类似方法定义。

　　如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c是a和b的公倍数，其中最小的一个正的公倍数，称为这两个数的最小公倍数。多个数之间的公倍数和最小公倍数也可以用类似的方法定义。

　　例题3：山西行测真题

　　某单位的员工不足50人，在参加全市组织的一次业务知识考试中全单位有的人得90-100分，有的人得80-89分，有的人得60-79分。请问这个单位得60分（不含60分）以下考试成绩的有多少人？

　　A．1人 B．2人 C．3人 D．4人

　　【解析】由于人数为整数，则人数为2、3、7的公倍数，即为42的倍数，又员工不足50人，则员工数只能是42人，那么60分以下的有42×（1---）=1人。正确答案为A。

　　（三）数的奇偶性与质合性

　　需要注意的几点：

　　1.性质１：奇数＋奇数＝偶数 偶数＋偶数＝偶数

　　性质2：奇数＋偶数＝奇数 偶数＋奇数＝奇数

　　性质3：奇数×偶数＝偶数 偶数×偶数＝偶数

　　性质4：奇数×奇数＝奇数

　　总之：加法/减法--同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇

　　乘法--乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇

　　2.1既不是质数也不是合数；

　　2是唯一的偶质数

　　例题4：

　　某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？

　　A．8B．10C．12D．15

　　【解析】本题数据之间关系简单，可以直接使用方程法，得到一元一次方程、二元一次方程组或者二元一次不定方程。此题利用奇偶性得到不定方程最为简便，完全不需要计算。

　　甲教室每次培训50人，乙教室每次培训45人，设甲教室培训了x次，乙教室培训了y次，则50x+45y=1290。由于50x、1290都是偶数，则45y必须是偶数，那么y是偶数，而x与y之和为奇数，则x为奇数，选项中只有D项是奇数。所以正确答案为D。

　　例题5：

　　共有920个玩具交给两个车间制作完成。已知甲车间每个人能够完成17个，乙车间每个人能够完成23个，现已知甲、乙两车间共有四十多人，问甲车间比乙车间多多少人？

　　A．0B．1C．2 D．-2

　　【解析】此题数量之间的关系不复杂。可以列出不定方程，利用质合性来解出方程。

　　设甲车间有x人，乙车间有y人，则17x+23y=920。

　　23y和920都能被23整除，则17x能被23整除，而17和23互质。

　　则x能被23整除，而两个车间人数为四十多人，则x=0、23或46。

　　若x=0，则y=40，x+y=40，舍去；

　　若x=23，则y=23，x+y=46，满足题意，此时x-y=0，选择A；

　　若x=46，则y=6，x+y=52，舍去。

　　所以正确答案为A。

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