第二章 数量关系--数学运算

　　第二节 数学运算基础知识

　　一、数的特性

　　数的特性，指的是整数的各种性质，是一个数自身所具有的特性，包括：数的整除特性、数的约数和倍数、数的奇偶性和质合性、数的同余、自然数n次方尾数变化等。这些特性是数学运算中最基础的知识，在公务员考试中虽不直接考查，但灵活运用对快速解题帮助很大。这一小节中的知识点比较琐碎，系统性并不是很强，需要考生多加记忆，牢固掌握。

　　（一）数的整除特性

　　两个整数a、b，如果a÷b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

　　1.数的整除检定

　　部分自然数整除检定性质

　　2.数的整除性质

　　（1）若数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。

　　（2）若数a能被c整除，m为任意整数，则a·m也能被c整除。

　　（3）若数a能被b整除，数a能被c整除，且b和c互质，则数a能被b·c整除。

　　3.完全平方数

　　一个数如果是另一个整数的平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。常见的完全平方数有0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400。有些题目可以利用完全平方数快速定位答案。

　　例题1：

　　有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了（ ）公斤面包。

　　A．44B．45

　　C．50D．52

　　【解析】本题的突破口在于“剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍”，说明剩下的饼干和面包的重量和应该是3的倍数，而6箱食品的总重量8+9+16+20+22+27=102公斤为3的倍数，故卖出的那箱面包的重量也为3的倍数，则重量只能是9或27公斤。

　　如果卖出的那箱面包重量为9公斤，那么剩下的面包总重量为（102-9）÷3=31公斤，没有合适的重量组合满足条件，排除。

　　如果卖出的那箱面包重量为27公斤，那么剩下的面包总重量为（102-27）÷3=25公斤，正好有25=9+16满足条件，则购进面包的总重量为27+25=52公斤。所以正确答案为D。

　　例题2：

　　修剪果树枝干，第1天由第1位园丁先修剪1棵，再修剪剩下的，第2天由第2位园丁先修剪2棵，再修剪剩下的，……，第n天由第n位园丁先修剪n棵，结果n天就完成，问如果每个园丁修剪的棵数相等，共修剪了（ ）果树。

　　A.46棵 B.51棵

　　C.75棵 D.81棵

　　【解析】本题从正面入手，通过“每个园丁修剪的棵数相等”这一条件，列出方程，可以直接得出答案。但是运用完全平方数性质，可以更快地得到答案。

　　“第n天由第n位园丁先修剪n棵，结果n天就完成”，说明第n位园丁修剪了n棵，而每个园丁修剪的棵数相等，故果树一共有n×n=n2棵，即棵数为完全平方数。选项中只有D项是完全平方数。所以正确答案为D。

　　（二）数的约数和倍数

　　两个整数a和b，如果a能被b整除，那么我们称a是b的倍数，或者说b是a的约数。

　　如果c是a的约数，c也是b的约数，那么我们称c是a和b的公约数，其中最大的一个公约数，称为这两个数的最大公约数。多个数之间的公约数和最大公约数也可以用类似方法定义。

　　如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c是a和b的公倍数，其中最小的一个正的公倍数，称为这两个数的最小公倍数。多个数之间的公倍数和最小公倍数也可以用类似的方法定义。

　　例题3：河北行测真题

　　在1至1000的自然数中，既不是4的倍数，也不是5的倍数的数共有多少个？

　　A．600 B．550C．500 D．450

　　【解析】在1-1000中，4的倍数有1000÷4=250个，5的倍数有1000÷5=200个，4和5的公倍数（即20的倍数）有1000÷20=50个，故4或5的倍数共有250+200-50=400个，所以既不是4的倍数也不是5的倍数的数有1000-400=600个。选择A。

　　（三）数的奇偶性与质合性

　　数的奇偶性与质合性定义

　　需要注意的几点：

　　1.性质１：奇数＋奇数＝偶数 偶数＋偶数＝偶数

　　性质2：奇数＋偶数＝奇数 偶数＋奇数＝奇数

　　性质3：奇数×偶数＝偶数 偶数×偶数＝偶数

　　性质4：奇数×奇数＝奇数

　　总之：加法/减法--同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇

　　乘法--乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇

　　2.1既不是质数也不是合数

　　2是唯一的偶质数

　　例题4：

　　某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训？

　　A．8B．10C．12D．15

　　【解析】本题数据之间关系简单，可以直接使用方程法，得到一元一次方程、二元一次方程组或者二元一次不定方程。此题利用奇偶性得到不定方程最为简便，完全不需要计算。

　　甲教室每次培训50人，乙教室每次培训45人，设甲教室培训了x次，乙教室培训了y次，则50x+45y=1290。由于50x、1290都是偶数，则45y必须是偶数，那么y是偶数，而x与y之和为奇数，则x为奇数，选项中只有D项是奇数。所以正确答案为D。

　　例题5：

　　共有920个玩具交给两个车间制作完成。已知甲车间每个人能够完成17个，乙车间每个人能够完成23个，现已知甲、乙两车间共有四十多人，问甲车间比乙车间多多少人？

　　A．0B．1C．2D．-2

　　【解析】此题数量之间的关系不复杂。可以列出不定方程，利用质合性来解出方程。

　　设甲车间有x人，乙车间有y人，则17x+23y=920。

　　23y和920都能被23整除，则17x能被23整除，而17和23互质。

　　则x能被23整除，而两个车间人数为四十多人，则x=0、23或46。

　　若x=0，则y=40，x+y=40，不符合题意，舍去；

　　若x=23，则y=23，x+y=46，满足题意，此时x-y=0，选择A；

　　若x=46，则y=6，x+y=52，也不符合题意，舍去。

　　所以正确答案为A。

　　（四）同余与剩余问题

　　1.余数性质

　　在整数的除法中，只有整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。

　　被除数（a）÷除数（b）=商（c）……余数（d），其中a、b、c均为整数，d为自然数。

　　其中，余数总是小于除数，即0≤d＜b。

　　例题6：河北行测真题

　　一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是多少？

　　A．118B．140C．153D．162

　　【解析】方法一，设这个数为x，已知x除以11余8，则x+3是11的倍数；已知x除以13余10，则x+3是13的倍数，故x+3是11、13的公倍数。又知11、13的最小公倍数为11×13=143，那么在小于200的数中，只有140满足以上要求。所以正确答案为B。

　　方法二，代入排除法，将选项代入，符合题干要求的即为所求。

　　2.同余

　　两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。

　　例如：71除以6的余数是5，29除以6的余数也是5，则称71与29对于6同余。

　　对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。

　　例如：23除以5的余数是3，16除以5的余数是1

　　23+16=39，3+1=4，则39除以5的余数与4同余

　　23-16=7，3-1=2，则7除以5的余数与2同余

　　23×16=368，3×1=3，则368除以5的余数与3同余

　　3.剩余问题

　　在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，问这个数最小是多少？这类问题在我国称为“孙子问题”，也称为剩余问题。

　　解剩余定理最常用的方法是代入排除法。

　　例题7：

　　有一个自然数“X”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“X”除以12的余数是多少？

　　A．1B．5C．9D．11

　　【解析】由题意得“X+1”同时能被3和4整除，即“X+1”能被12整除，则“X”除以12余11。所以正确答案为D。

　　（五）自然数n次方尾数变化情况

　　在应用尾数法时，考生应该结合自然数n次方的尾数变化进行解题。

　　一个自然数n次方的尾数等于它尾数n次方的尾数，因此我们只需要考虑0-9的n次方尾数变化规律即可。

　　0n的尾数始终是0

　　1n的尾数始终是1

　　2n的尾数以“2、4、8、6”循环变化，循环周期为4

　　3n的尾数以“3、9、7、1”循环变化，循环周期为4

　　4n的尾数以“4、6”循环变化，循环周期为2

　　5n的尾数始终是5

　　6n的尾数始终是6

　　7n的尾数以“7、9、3、1”循环变化，循环周期为4

　　8n的尾数以“8、4、2、6”循环变化，循环周期为4

　　9n的尾数以“9、1”循环变化，循环周期为2

　　例题8：

　　20082008+20092009的个位数是：

　　A．3B．5C．7D．9

　　【解析】易知20082008的尾数是由82008的尾数确定的，8n的尾数是以8、4、2、6这4个数为周期进行变化，2008能整除4，82008的尾数就相当于84的尾数，为6；20092009的尾数由92009的尾数确定，9n的尾数是以9、1这2个数为周期进行变化的，可知92009的尾数为9。6+9=15，个位数为5。正确答案为B。

　　二、常用计算技巧

　　无论是单纯的算术式子，还是文字型应用题，一般来说，通过对题干的数量关系进行准确分析以后，最终都被转化为对算式或者方程的处理和计算。因此，理解和掌握大量的计算技巧，对提高数学运算的解题速度至关重要。下面介绍几种常用的计算技巧。

　　（一）尾数法

　　尾数法是指在不直接计算算式各项值的情况下，只计算算式各项的尾数，得到结果的尾数，从而确定选项中符合条件的答案的方法。尾数法一般适用于加、减、乘（方）这三种情况的运算。一般选项中四个数的尾数各不相同时，可以优先考虑尾数法。

　　两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。

　　尾数本质上是原数除以10的余数，尾数法本质上是同余的性质。

　　特别提示：算式中如果出现除法，请不要使用尾数法。

　　例题1：

　　7643×2819-7644×2818的值是：

　　A.4825B.4673C.5016D.5238

　　【解析】此题直接计算的话计算量很大，考虑到算式本身是由减法和乘法组成，且选项中各项尾数均不相同，因此考虑采用尾数法。则所求结果的尾数应该与3×9-4×8=-5相同，-5的尾数是5，只有A项符合。

　　（二）弃九法

　　与尾数法类似的方法还有“弃九法”。把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原数的弃九数，如1+4+6+3+5+7=26，2+6=8，则146357的弃九数是8。当尾数法不能使用的时候，可以考虑采用“弃九法”来得到答案。与尾数法类似，两个数的弃九数之和等于和的弃九数，两个数的弃九数之差等于差的弃九数，两个数的弃九数之积等于积的弃九数。

　　弃九数本质上是原数除以9的余数，弃九法本质上也是同余的性质。

　　特别提示：算式中如果出现除法，请同样不要使用弃九法。

　　例题2：河北行测真题

　　８６１２×７５６×６０６的值是：

　　Ａ．９８５０３２０９２Ｂ．３５１０３２６２９２Ｃ．３９４５４６７２３２Ｄ．３６１０４９４０４２

　　【解析】方法一，弃九法。8612的弃九数为8，756的弃九数为0，606的弃九数为3，所以乘积的弃九数为0，验证选项，A项的弃九数为2，B项的弃九数为6，C项的弃九数为0，D项的弃九数为6，只有C项符合。

　　方法二，8612、756、606都能被2整除，所以它们的乘积能被８整除，验证四个选项的末三位能否被8整除，选项中只有Ｃ满足条件。

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