（四）同余与剩余问题 　　1.余数性质 　　在整数的除法中，只有整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。 　　被除数（a）÷除数（b）=商（c）……余数（d），其中a、b、c均为整数，d为自然数。 　　其中，余数总是小于除数，即0≤d＜b。 　　例题6：宁夏行测真题 　　在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？ 　　A．237B．258C．279D．290 　　【解析】在除法算式里，被除数=除数×商+余数，此题可以设除数为x，则被除数是21x+6。由题意可知，21x+6+x+21+6=319，解得x=13，故被除数为13×21+6=279。 　　2.同余 　　两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。 　　例如：71除以6的余数是5，29除以6的余数也是5，则称71与29对于6同余。 　　对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。 　　例如：23除以5的余数是3，16除以5的余数是1 　　23+16=39，3+1=4，则39除以5的余数与4同余 　　23-16=7，3-1=2，则7除以5的余数与2同余 　　23×16=368，3×1=3，则368除以5的余数与3同余 　　3.剩余问题 　　在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，问这个数最小是多少？这类问题在我国称为“孙子问题”，也称为剩余问题。 　　解剩余定理最常用的方法是代入排除法。 　　例题7： 　　有一个自然数“X”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“X”除以12的余数是多少？ 　　A．1B．5C．9D．11 　　【解析】此题为剩余问题，可以直接采用代入排除法。设y为“X”除以12的商，则 　　若“X”除以12的余数是1，则X=12y+1=3×4y+1，其除以3的余数为1，排除A项； 　　若“X”除以12的余数是5，则X=12y+5=4×3y+4+1，其除以4的余数为1，排除B项； 　　若“X”除以12的余数是9，则X=12y+9=3×4y+3×3，能被3整除，排除C项； 　　若“X”除以12的余数是11，则X=12y+11，容易得出其满足条件。 　　所以正确答案为D。 　　（五）自然数n次方尾数变化情况 　　在应用尾数法时，考生应该结合自然数n次方的尾数变化进行解题。 　　一个自然数n次方的尾数等于它尾数n次方的尾数，因此我们只需要考虑0-9的n次方尾数变化规律即可。 　　0n的尾数始终是0 　　1n的尾数始终是1 　　2n的尾数以“2、4、8、6”循环变化，循环周期为4 　　3n的尾数以“3、9、7、1”循环变化，循环周期为4 　　4n的尾数以“4、6”循环变化，循环周期为2 　　5n的尾数始终是5 　　6n的尾数始终是6 　　7n的尾数以“7、9、3、1”循环变化，循环周期为4 　　8n的尾数以“8、4、2、6”循环变化，循环周期为4 　　9n的尾数以“9、1”循环变化，循环周期为2 　　二、常用计算技巧 　　无论是单纯的算术式子，还是文字型应用题，一般来说，通过对题干的数量关系进行准确分析以后，最终都被转化为对算式或者方程的处理和计算。因此，理解和掌握大量的计算技巧，对提高数学运算的解题速度至关重要。下面介绍几种常用的计算技巧。 　　（一）尾数法 　　尾数法是指在不直接计算算式各项值的情况下，只计算算式各项的尾数，得到结果的尾数，从而确定选项中符合条件的答案的方法。尾数法一般适用于加、减、乘（方）这三种情况的运算。一般选项中四个数的尾数各不相同时，可以优先考虑尾数法。 　　两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。 　　尾数本质上是原数除以10的余数，尾数法本质上是同余的性质。 　　特别提示：算式中如果出现除法，请不要使用尾数法。 　　例题1：宁夏行测真题 　　3×999+8×99+4×9+8+7的值是： 　　A.3840 B.3855C.3866 D.3877 　　【解析】尾数法。四个选项尾数各不相同，和的尾数为7+2+6+8+7=（3）0，故选A。 　　（二）弃九法 　　与尾数法类似的方法还有“弃九法”。把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原数的弃九数，如1+4+6+3+5+7=26，2+6=8，则146357的弃九数是8。当尾数法不能使用的时候，可以考虑采用“弃九法”来得到答案。与尾数法类似，两个数的弃九数之和等于和的弃九数，两个数的弃九数之差等于差的弃九数，两个数的弃九数之积等于积的弃九数。 　　弃九数本质上是原数除以9的余数，弃九法本质上也是同余的性质。 　　特别提示：算式中如果出现除法，请同样不要使用弃九法。 　　例题2： 　　11338×25593的值为： 　　A.290133434B.290173434C.290163434D.290153434 　　【解析】此题数据很大，直接计算相当耗时；各项答案尾数相同，无法使用尾数法。此时可以考虑弃九法。 　　1+1+3+3+8=16，1+6=7，11338的弃九数为7； 　　2+5+5+9+3=24，2+4=6，25593的弃九数为6； 　　7×6=42，4+2=6，则答案的弃九数为6。 　　经计算，只有选项B的弃九数是6。

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